数学|全概率定律

先决条件—— 随机变量 , 条件概率 给定n个相互排斥的事件A1，A2，…Ak，它们的概率和是统一的，它们的并集是事件空间E，那么Ai∩ Aj=NULL，对于所有不等于j的i，以及

A1 U A2 U ... U Ak = E 

然后 全概率定理或全概率定律 是：

其中B是任意事件，P（B/Ai）是假设A已经发生的B的条件概率。

证据—— 设A1，A2，…，Ak是不相交的事件，形成样本空间的一个分区，并假设P（Ai）>0，对于i=1，2，3…。K 以便：

A1 U A2 U A3 U ....U AK = E(Total)

那么，对于任何事件B，我们有，

B = B ∩ E
B = B ∩ (A1 U A2 U A3 U ....U AK) 

因为交集和并集是分配的。因此

B = (B ∩ A1) U (B ∩ A2)U ... U(B ∩ AK) 

因为所有这些分区都是不相交的。所以我们有，

P(B ∩ A1) = P(B ∩ A1) U P(B ∩ A2)U ... U P(B ∩ AK) 

即不相交事件并的概率加法定理。

使用条件概率

P(B / A) =  P(B ∩ A) / P(A)

或者根据乘法法则，

P(B ∩ A) = P(B / A) x P(A) 

这里，如果P（B | A）=P（B），则称事件A和B为独立事件，其中P（A）不等于零（0），

P(A ∩ B) = P(A) * P(B) 

其中P（B | A）是条件概率，它给出了事件A已经发生时事件B发生的概率。因此

P(B ∩ Ai) = P(B | Ai).P(Ai) ; i = 1, 2, 3....k

应用这条规则，

这是 全概率定律 .

全概率定律也被称为 全概率定理 或者替代法则。

注—— 当你不知道一个事件的概率，但你知道它在几个不相交的场景下发生的概率和每个场景的概率时，就使用总概率定律。

应用程序- 它用于计算分母 贝叶斯定理 .

例如—— 我们从一副洗牌中抽出两张牌，并换牌。找出获得第二张王牌的概率。

解释—— 允许 A–代表获得国王第一张牌的事件。 B–代表第一张牌不是国王的事件。 E–代表第二张牌是国王的事件。

然后，第二张牌成为国王与否的概率将由总概率定律表示为：

 P(E)= P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) 

哪里 P（E）是第二张牌成为国王的概率， P（A）是第一张牌是国王的概率， P（E | A）是第二张牌是国王的概率，假设第一张牌是国王， P（B）是第一张牌不是国王的概率， P（E | B）是第二张牌是国王，但第一张牌不是国王的概率。

根据问题：

P(A) = 4 / 52
P(E|A) = 4 / 52
P(B) = 48 / 52
P(E|B) =  4 / 52 

因此

P(E)
= P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B)
=(4 / 52) * (4 / 52) + (48 / 52) * (4  / 52)
= 0.0769230