用黄金分割率推导斐波那契数的表达式-yiteyi-C++库

用黄金分割率推导斐波那契数的表达式

3年前发布

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先决条件： 母函数 , 斐波那契数 , 斐波那契数的求法 .

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使用方法母函数解决著名和有用的问题斐波那契数 “这篇文章讨论了复发问题。

这个 生成函数 是解决各种数学问题的有力工具，包括计数问题。这是一个正式的权力系列。例如，在计算问题时，我们通常感兴趣的是找到大小物体的数量 $n$ 在这种情况下，我们定义了一个幂级数，简单来说，它是一个无限项多项式，其中 $nth$ 学位术语是 $nth$ 序列的项。这有助于我们找到许多有趣而重要的结果。应该注意的是，在使用生成函数时，我们通常使用生成函数幂级数中的系数，很少使用级数中的变量。在这篇文章中，我们也将这样做。一类a的普通母函数 _N 是：

$mathcal{G}(a_{n};x) = sum_{n=0}^{infty}a_{n}x^n$

斐波那契数是数学中的基本序列之一，人们已经发现了许多方法来找出这个序列的高阶项。这篇文章讨论了这样一种方法。

让我们首先为斐波那契数定义一个生成函数，然后将该函数简化为一个递归。利用这一点，扩展简化并将其分解为部分分数，然后使用两个标准幂级数，然后将它们结合起来，以获得令人惊讶的结果 $ith$ 斐波那契级数的项。

让我们定义生成函数 $mathcal{F}$ 像

$mathcal{F}(z) = sum_{i=0}^{infty}F_{i}z^i$

$mathcal{F}(z) = 0 + z + z^2 + 2z^3 + 3z^4 + 5z^5 + 8z^6 + ... infty$ ,

哪里 $F_{i}$ 是第i个斐波那契数。

自从

$mathcal{F}(z) = z + z^2 + 2z^3 + 3z^4 + 5z^5 + 8z^6 + ... infty$ .

$mathcal{F}(z) = z + (1 + 0)z^2 + (1 + 1)z^3 + (2 + 1)z^4 + (3 + 2)z^5 + (5 + 3)z^6 + ... infty$ .

重新安排他们，

$mathcal{F}(z) = z + [z^2 + z^3 + 2z^4 + 3z^5 + 5z^6 + ... infty] + [0 + z^3 + z^4 + 2z^5 + 3z^6 + ... infty]$ .

以通用术语来说，

$mathcal{F}(z) = z + (z)[z + z^2 + 2z^3 + 3z^4 + 5z^5 + ... infty]$ $+ (z^2)[0 + z^1 + z^2 + z^3 + 3z^4 + ... infty]$

进一步简化，得到以下函数。

$mathcal{F}(z) = z + zmathcal{F}(z) + z^2mathcal{F}(z)$ .

解决 $mathcal{F}(z)$ ，我们得到：

$mathcal{F}(z) = frac{z}{1-z-z^2}$ .

通过以上运算，我们得到以下公式：

$1-z-z^2 = -(z + phi)(z + widehat{phi})$ ,

哪里 $phi = frac{1+sqrt{5}}{2}$ 和 $widehat{phi} = frac{1-sqrt{5}}{2}$ .

因此

$mathcal{F}(z) = frac{-z}{(z + phi)(z + widehat{phi})}$ 还要注意，

$phiwidehat{phi} = -1$ .

因此，将这个关系保持在上面的表达式中，我们得到，

$mathcal{F}(z) = frac{z}{(1-zphi)(1 - zwidehat{phi})}$ .

现在，上面表达式的右边可以分成部分分数，

$mathcal{F}(z) = frac{1}{sqrt{5}}left [ frac{1}{(1-phi z)} - frac{1}{(1-widehat{phi} z)} ight ]$ .

使用膨胀在这两个分数上，

$frac{1}{(1-phi z)} = 1 + phi z + phi ^2 z^2 + phi ^3 z^3 + ... infty = sum_{i=0}^{infty}phi ^iz^i$ .

同样地，

$frac{1}{(1-widehat{phi} z)} = 1 + widehat{phi} z + widehat{phi} ^2 z^2 + widehat{phi} ^3 z^3 + ... infty = sum_{i=0}^{infty}widehat{phi} ^iz^i$ .

因此

$mathcal{F}(z) = sum_{i=0}^{infty}frac{1}{sqrt{5}}(phi ^iz^i - widehat{phi} ^iz^i)$ .

因此

$F_{i} = frac{1}{sqrt{5}}(phi ^i - widehat{phi} ^i)$ .

现在

$left | phi ight | < 1$ ,

和

$left | frac{widehat{phi} ^i}{sqrt{5}} ight | < left | frac{phi ^i}{sqrt{5}} ight | < frac{1}{2}$

利用以上两个事实，我们可以得出如下结论：

$F_{i} = frac{phi ^i}{sqrt{5}}$ ，四舍五入到最接近的整数。

用黄金分割比求n次斐波那契数是这个公式的应用之一。

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