数学|特征值和特征向量

矩阵a的特征向量是由矩阵X表示的向量，当X与矩阵a相乘时，所得矩阵的方向与向量X相同。

从数学上讲，上述陈述可以表示为：

斧头= λX

其中A是任意矩阵， λ是特征值 X是对应于每个本征值的本征向量。

在这里，我们可以看到AX与X平行。所以，X是一个本征向量。

求任意方阵A的特征向量和特征值的方法 我们知道，

AX=λX

=>AX–λX=0

=>（A–λI）X=0…。。(1)

只有当（A–λI）是单数时，上述条件才成立。也就是说，

|A–λI |=0…。。(2)

（2） 被称为矩阵的特征方程。

特征方程的根是矩阵A的特征值。

现在，为了找到特征向量，我们只需将每个特征值放入（1）中，并通过高斯消去法进行求解，也就是说，将增广矩阵（A–λI）=0转换为行梯队形式，并求解由此得到的线性方程组。

本征值的一些重要性质

• 实对称矩阵和厄米矩阵的特征值是实的

• 实斜对称矩阵和斜厄米矩阵的特征值要么是纯虚的，要么是零

• 酉矩阵和正交矩阵的特征值的单位模|λ|=1

• 如果λ _1. λ _2. …….λ _N 是A的本征值，然后是kλ _1. ，kλ _2. …….kλ _n 是kA的特征值

• 如果λ _1. λ _2. …….λ _N 是A的本征值，然后是1/λ _1. , 1/λ ₂ …….1/λ _N 是A的特征值 ^-1

• 如果λ _1. λ _2. …….λ _N 是A的本征值，然后是λ _1. ^K , λ _2. ^K …….λ _N ^K 是A的特征值 ^K

• A的本征值=A的本征值 ^T （转置）

• 特征值之和=A的轨迹（A的对角线元素之和）

• 本征值的乘积=|A|

• A的不同特征值的最大数量=A的大小

• 如果A和B是两个相同阶的矩阵，那么AB的本征值=BA的本征值

本文由Saurabh Sharma撰稿。

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