数学|线性方程组

矩阵的轨迹： 让A= _ij ] _nxn 是一个n阶方阵，那么对角元素的和称为矩阵的迹，用tr（a）表示。tr（A）=A ₁₁ +a ₂₂ +a ₃₃ + ……….+ A. _nn

矩阵迹的性质： 设A和B为任意两个n阶方阵

1. tr（kA）=k tr（A），其中k是标量。
2. tr（A+B）=tr（A）+tr（B）
3. tr（A-B）=tr（A）-tr（B）
4. tr（AB）=tr（BA）

线性方程组的解： 线性方程组可以有三种可能的解：

• 没有解决办法
• 独特的解决方案
• 无限解

矩阵的秩： 矩阵的秩是行缩减形式中非零行的数量或独立行的最大数量或独立列的最大数量。 设A是任意mxn矩阵，它有不同阶次的方子矩阵。如果矩阵满足以下性质，则称其为秩r：

1. 它至少有一个具有非零行列式的r阶方子矩阵。
2. 阶（r+1）或高于r的方子矩阵的所有行列式都为零。

秩表示为P（A）。 如果A是n阶非奇异矩阵，则A的秩=n，即P（A）=n。

矩阵秩的性质：

1. 如果A是一个空矩阵，那么P（A）=0，即空矩阵的秩为零。
2. 如果我 _n 是nxn单位矩阵，那么P（A）=n。
3. 矩阵a的秩mxn，P（a）≤ min（m，n）。因此P（A）≤m和P（A）≤ N
4. P（A） _nxn )=n如果| A |≠ 0
5. 如果P（A）=m，P（B）=n，那么P（AB）≤ min（m，n）。
6. 如果A和B是n阶方阵，那么P（AB）？P（A）+P（B）–n。
7. 如果 _m×1 是非零列矩阵和B _n×1 是非零行矩阵，则P（AB）=1。
8. 斜对称矩阵的秩不能等于1。

齐次线性方程组AX=0 .

1. X=0。总是一个解决方案；意味着所有的未知数都和零有相同的值。（这也称为琐碎解决方案）
2. 如果P（A）=未知数，则为唯一解。
3. 如果P（A）

非齐次线性方程组AX=B .

1. 如果P[A:B]≠P（A），没有解决方案。
2. 如果P[A:B]=P（A）=未知变量的数量，则为唯一解。
3. 如果P[A:B]=P（A）≠ 未知的数量，无穷多的解决方案。

这里P[A:B]是AX=B的高斯消去表示的秩。 线性方程组有两种状态：

• 一致状态： 具有一个或多个解的方程组称为相容方程组。
• 不一致状态： 没有解的方程组称为不一致方程组。

向量的线性相关性和线性独立性：

线性相关性： 一组向量X _1. ，X _2. ….十、 _R 如果存在r标量k，则称为线性相关 _1. K _2. …..K _R 例如：k _1. 十、 _1. +k _2. X _2. +……..K _R 十、 _R = 0.

线性独立性： 一组向量X _1. 十、 ₂ ….十、 _R 如果对于所有的r标量k _1. K _2. …..K _R 以至于 _1. 十、 _1. +k _2. 十、 _2. +……..K _R 十、 _R =0，然后是k _1. =k _2. =……. = K _R = 0. 如何确定线性相关性和独立性？ 让X _1. ，X _2. ….X _R 是给定的向量。构造一个以给定向量为行的矩阵。

1. 如果给定向量的矩阵的秩小于向量的数目，那么向量是线性相关的。
2. 如果给定向量的矩阵的秩等于向量的个数，那么向量是线性独立的。

参考： http://www.dr-eriksen.no/teaching/GRA6035/2010/lecture2-hand.pdf

本文由 尼蒂卡·班萨尔 .