UGC-NET | UGC-NET CS 2018年7月–II |问题89

以下哪项是从Z到Z的所有函数集上的等价关系？ （A） {（f，g）|f（x）−g（x）=1 x∈ Z} （B） {（f，g）|f（0）=g（0）或f（1）=g（1）} （C） {（f，g）|f（0）=g（1）和f（1）=g（0）} （D） {（f，g）|f（x）−对于某些k，g（x）=k∈ Z} 答复: （D） 说明： （A） 这个关系没有这三个属性。它不是自反的，因为f（x）–f（x）=0≠ 1.它不是对称的，因为如果j（x）-g（x）=1，那么g（x）-f（x）=-1≠ 1.它是不可传递的，因为如果f（x）-g（x）=1和g（x）-h（x）=1，那么f（x）-h（x）=2≠ 1.

（B） 这不是等价关系，因为它不是可传递的。设f（x）=0，g（x）=x，h（x）=1表示所有x E Z。那么f与g相关，因为f（0）=g（0），g与h相关，因为g（1）=h（1），但f与h无关，因为它们没有共同的值。通过考察，我们发现这种关系是自反的、对称的。

（C） 这种关系不是自反的，因为有很多函数f（例如，f（x）=x）不具有f（0）=f（1）的性质。通过检查，它是对称的（f和g的作用相同）。它不是可传递的。例如，设f（0）=g（1）=h（0）=7，设f（0）=g（0）=h（1）=3；任意填写剩余值。那么f和g是相关的，g和h也是相关的，但是f和h是不相关的，因为7≠ 3.

（D） 这是一个等价关系。如果两个函数相差一个常数，则它们在这里是相关的。它显然是自反的（常数为0）。它是对称的，因为如果f（x）–g（x）=k，那么g（x）–f（x）=-k。它是传递的，因为如果f（x）–g（x）=k1和g（x）–h（x）=k2，那么f（x）–h（x）=k3，其中k3=k1+k2（加上前两个等式）。

因此，选项（D）是正确的。

教资会从肯尼斯·罗森那里接受了这个问题- 第七版 （第615页，问题3，第9.5章等效关系）。 这个问题的小测验