数学|序列、级数和求和-yiteyi-C++库

顺序：

它是一组数字，按照一定的规则，以一定的顺序排列。 集合中的每一个数字都被称为序列中的一个项，其长度是序列中的项数。我们可以把序列写成 ${a_n}}_{n=1}^{infty} or a_n$ 有限序列通常由 _1. A. _2. A. _3. …. A. _N ，无限序列由 _1. A. _2. A. _3. …. 无限远。序列{A _N }有极限，我们写 $displaystylelim_{n oinfty} a_n = L$ 或 ${a_n oL}$ 像 ${n oinfty}$ . 例如：

null

2, 4, 6, 8 ...., 20 is a finite sequence obtained by adding 2 to the previous number.
10, 6, 2, -2, ..... is an infinite sequence obtained by subtracting 4 from the previous number.

如果一个序列的项可以用公式来描述，那么这个序列就叫做a 进展 .

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ....., is a progression called the Fibonacci sequence in which each term 
is the sum of the previous two numbers.

更多关于进步

定理：

定理1 ：给定顺序 ${a_n}$ 如果我们有一个函数 f（x） 以至于 f（n） = $a_n$ 和 $displaystylelim_{x oinfty} f(x) = L$ 然后 $displaystylelim_{n oinfty} a_n = L.$ 这个定理基本上告诉我们，序列的极限，就像函数的极限一样。

定理2（挤压定理）：如果 $a_nleq c_nleq b_n$ 对于所有n>n对于某些n和 $lim_{n oinfty} a_n = lim_{n oinfty} b_n = L$ 然后 $lim_{n oinfty} c_n = L.$

定理3 ：如果 $lim_{n oinfty}mid a_nmid = 0$ 然后 $lim_{n oinfty} a_n = 0$ . 注意，为了使这个定理成立，极限必须为零，对于极限不为零的序列，它不起作用。

定理4 ：如果 $displaystylelim_{n oinfty} a_n = L$ 功能呢 F 持续的 L 然后 $displaystylelim_{n oinfty}f(a_n) = f(L)$

定理5 ：序列 ${r^n}$ 如果 $-1 < r leq 1$ 对于 r的所有其他值。同样， $图片[18]-数学|序列、级数和求和-yiteyi-C++库$ 这个定理是一个有用的定理，它给出了偶尔出现的序列的收敛/发散和值（当它收敛时）。

属性：

如果 $(a_n)$ 和 $(b_n)$ 是收敛序列，具有以下特性：

$displaystylelim_{n oinfty} (a_n pm b_n) = displaystylelim_{n oinfty} a_n pm displaystylelim_{n oinfty} b_n$
$displaystylelim_{n oinfty} ca_n = cdisplaystylelim_{n oinfty} a_n$
$displaystylelim_{n oinfty} (a_n b_n) = Big(displaystylelim_{n oinfty} a_nBig)Big(displaystylelim_{n oinfty} b_nBig)$
假如
最后一个属性是 $图片[26]-数学|序列、级数和求和-yiteyi-C++库$

系列：

级数就是序列中各个项的总和。 如果序列是 $a_1, a_2, a_3, ....a_n$ 表情 $a_1 + a_2 + a_3 + ....+ a_n$ 被称为与之相关的系列。系列由“S”或希腊符号表示 $displaystylesum_{n=1}^{n}a_n$ .级数可以是有限的，也可以是无限的。例如：
```
5 + 2 + (-1) + (-4) is a finite series obtained by subtracting 3 from the previous number.
1 + 1 + 2 + 3 + 5 is an infinite series called the Fibonacci series obtained from the 
Fibonacci sequence.
```
如果部分和序列是收敛序列（即其极限存在且有限），则该序列也被称为收敛序列 会聚性的 i、 e.如果 $displaystylelim_{n oinfty} S_n = L$ 然后 $displaystylesum_{n=1}^infty} a_n = L$ .同样，如果部分和序列是发散序列（即如果 $displaystylelim_{n oinfty} a_n eq 0$ 或者它的极限不存在，或者是正负无穷大），那么这个级数也叫做发散级数。

属性：
如果 $displaystylesum_{n=1}^infty} a_n = A$ 和 $displaystylesum_{n=1}^infty} b_n = B$ 那么是收敛级数吗 $displaystylesum_{n=1}^infty} (a_n + b_n) = A + B$
如果 $displaystylesum_{n=1}^infty} a_n = A$ 和 $displaystylesum_{n=1}^infty} b_n = B$ 那么是收敛级数吗 $displaystylesum_{n=1}^infty} (a_n - b_n) = A - B$
如果 $displaystylesum_{n=1}^infty} a_n = A$ 那么是收敛级数吗 $displaystylesum_{n=1}^infty} ca_n = cA$
如果 $displaystylesum_{n=1}^infty} a_n = A$ 和 $displaystylesum_{n=1}^infty} b_n = B$ 是收敛级数，如果 $a_nleq b_n$ 为了所有人 $in$ 那么 $Aleq B$

定理：
定理1（比较测试） : 认为 $0leq a_nleq b_n$ 对于 $ngeq k$ 对一些k.那么（1）融合 $displaystylesum_{n=1}^infty} b_n$ 这意味着 $displaystylesum_{n=1}^infty} a_n.$ （2）融合 $displaystylesum_{n=1}^infty} a_n$ 这意味着 $displaystylesum_{n=1}^infty} b_n.$
定理2（极限比较试验） : 允许 $a_ngeq 0$ 和 $b_n > 0$ ，假设 $displaystylelim_{n oinfty}frac{a_n}{b_n} = L > 0$ 然后 $displaystylesum_{n=0}^infty} a_n$ 当且仅当 $displaystylesum_{n=0}^infty} b_n$ 汇聚。
定理3（比率检验） : 假设存在以下限制：， $M = displaystylelim_{n oinfty}frac{|a_n+1|}{|a_n|}$ 然后（1）如果 $M < 1 Rightarrow displaystylelim_{n oinfty}a_n$ 汇聚（2）如果 $M > 1 Rightarrow displaystylelim_{n oinfty}a_n$ 分歧（3）如果 $M = 1 Rightarrow displaystylelim_{n oinfty}a_n$ 可能会趋同或分歧
定理4（根检验） : 假设存在以下限制：， $M = displaystylelim_{n oinfty}sqrt[n]{|a_n|}$ 然后（1）如果 $M < 1 Rightarrow displaystylelim_{n oinfty}a_n$ 汇聚（2）如果 $M > 1 Rightarrow displaystylelim_{n oinfty}a_n$ 分歧（3）如果 $M = 1 Rightarrow displaystylelim_{n oinfty}a_n$ 可能会趋同或分歧
定理5（绝对收敛性检验） : 连续剧 $displaystylesum_{n=1}^infty}a_n$ 据说是 绝对收敛 如果这个系列 $displaystylesum_{n=1}^infty}|a_n|$ 汇聚。
定理6（条件收敛性检验） : 连续剧 $displaystylesum_{n=1}^infty}a_n$ 据说是 条件收敛 如果这个系列 $displaystylesum_{n=1}^infty}|a_n|$ 分歧，但系列 $displaystylesum_{n=1}^infty}a_n$ 汇聚。
定理7（交替串联试验） : 如果 $a_0geq a_1geq a_2geq ....geq 0$ 和 $displaystylelim_{n oinfty}a_n = 0$ “交替系列” $a_0-a_1+a_2-a_3+.... = displaystylesum_{n=1}^infty}(-1)^n a_n$ 将汇聚。
系列问题

总结：

求和是一系列数字的相加。它是一种方便而简单的速记形式，用于给出变量值总和的简明表达式。 求和符号， $displaystylesum_{i=m}^{n} a_i$ ，指示我们对序列中的元素求和。被求和序列的一个典型元素出现在求和符号的右侧。

属性：
$displaystylesum_{i=m}^{n} ca_i = cdisplaystylesum_{i=m}^{n}a_i$ 其中c是任意数。所以，我们可以从求和中求出常数。
$displaystylesum_{i=m}^{n} (a_ipm b_i) = displaystylesum_{i=m}^{n} a_i pmdisplaystylesum_{i=m}^{n} b_i$ 所以我们可以将求和分解为求和或求差。
请注意，虽然我们可以像上面提到的那样分解总和和差值，但我们不能对产品和商做同样的事情。换句话说，

$图片[76]-数学|序列、级数和求和-yiteyi-C++库$
$displaystylesum_{i=m}^{n}a_i = displaystylesum_{i=m}^{j}a_i +displaystylesum_{i=j+1}^{n}a_i$ ，表示任何自然数 $mleq j < j + 1leq n$ .

$displaystylesum_{i=1}^{n}c = c+c+c+c....+(n times) = nc$ .如果求和的参数是常数，那么求和就是极限范围值乘以常数。

例如：

1) Sum of first n natural numbers: .

2) Sum of squares of first n natural numbers: 
.

3) Sum of cubes of first n natural numbers: 
.

4) The property of logarithms: 
.

文章版权归作者所有，未经允许请勿转载。

THE END

技术文章

数学|序列、级数和求和

顺序：

定理：

属性：

系列：

属性：

定理：

总结：

属性：