数学|不定积分-yiteyi-C++库

反衍生——

null

定义： 函数∅（x）被称为函数f（x）的反导数（或积分）∅（x） ‘=f（x）。

例子： 十、 ^4. /4是x的反导数 ^3. 因为（x） ^4. /4） ‘=x ^3. .

In general, if ∅(x) is antiderivative of a function f(x) and C is a constant.Then,
{∅(x)+C}' = ∅(x) = f(x).

不定积分-

定义： 设f（x）为函数。然后，所有ist反导数族被称为函数f（x）的不定积分，用∫f（x）dx。象征∫f（x）dx是f（x）相对于x的不定积分。因此∫f（x）dx=∅（x） +C。因此，求函数的不定积分的过程称为函数积分。

基本积分公式——

∫十、 ^N dx=（x） ⁿ⁺¹ /（n+1））+C
∫（1/x）dx=（对数） _E |x |）+C
∫E ^十、 dx=（e） ^十、 )+C
∫A. ^x dx=（（e） ^十、 )/（日志） _E a））+C
∫sin（x）dx=-cos（x）+C
∫cos（x）dx=sin（x）+C
∫秒 ^2. （x） dx=tan（x）+C
∫科赛克 ^2. （x） dx=-cot（x）+C
∫秒（x）tan（x）dx=秒（x）+C
∫cosec（x）cot（x）dx=-cosec（x）+C
∫|x（x）|C
∫tan（x）dx=log | sec（x）|+C
∫秒（x）dx=log |秒（x）+tan（x）|+C
∫cosec（x）dx=log | cosec（x）-cot（x）|+C

示例——

例1。 评估∫十、 ^4. dx。

解决方案——

Using the formula, ∫xⁿdx = (xⁿ⁺¹/(n+1))+C
 ∫x⁴dx = (x⁴⁺¹/(4+1))+C 
       = (x⁵/(5))+C

例2。 估计∫2/（1+cos2x）dx。

解决方案——

As we know that 1+cos2x = 2cos²x
∫2/(1+cos2x)dx = ∫(2/(2cos²x))dx
               = ∫sec²x
               = tan(x)+C

例3。 估计∫（（x） ^3. -x ^2. +x-1）/（x-1））dx。
解决方案——
```
∫((x³-x²+x-1)/(x-1))dx = ∫((x²(x-1)+(x-1))/(x-1))dx
                   = ∫(((x²+1)(x-1))/(x-1))dx
                   = ∫(x²+1)dx
                   = (x³/3)+x+C                  
Using, ∫xⁿdx = (xⁿ⁺¹/(n+1))+C
```
整合方法——
1. 通过替代进行整合：
  - 定义—— 通过适当的代换将积分简化为标准形式来计算积分的方法称为代换积分。如果f（x）是一个连续可微函数，则计算形式的积分
```
∫g(f(x))f(x)dx
```
    我们用f（x）=t替换f（x）’dx=dt。这就减少了积分的形式
```
∫g(t)dt
```
  - 例如：
    - 例1。 评估∫E ^2x-3 dx
    - 解决方案
```
Let 2x-3=t => dx=dt/2
∫e^2x-3dx = (∫e^tdx)/2
        = (∫e^t)/2
        = ((e^2x-3)/2)+C
```
    - 例2。 评估∫sin（ax+b）cos（ax+b）dx
    - 解决方案
```
Let ax+b=t => dx=dt/a;
 ∫sin(ax+b)cos(ax+b)dx =  (∫sin(t)cos(t)dt)/a
                       = (∫sin(2t)dt)/2a
                       = -(cos(2t))/4a
                       = (-cos(2ax+2b)/4a)+C
```
2. 按部件集成：
  - 定理： 如果u和v是x的两个函数，那么
```
∫(uv)dx = u(∫vdx)-∫(u'∫vdx)dx
```
    其中u是x的第一个函数，v是x的第二个函数
  - 选择第一个功能： 我们可以选择第一个函数作为单词中的第一个函数 伊拉特 哪里
    - I–表示逆三角函数。
    - L–代表对数函数。
    - A–代表代数函数。
    - T–代表三角函数。
    - 代表指数函数。
  - 例如：
    - 例1。 评估∫xsin（3x）dx
    - 解决方案
```
Taking I= x and II = sin(3x)
∫xsin(3x)dx = x(∫sin(3x)dx)-∫((x)'∫sin(3x)dx)dx
            = x(cos(3x)/(-3))-∫(cos(3x)/(-3))dx
            = (xcos(3x)/(-3))+(cos(3x)/9)+C
```
    - 例2。 评估∫xsec ^2. xdx
    - 解决方案
```
Taking I= x and II = sec²x
∫xsin(3x)dx = x(∫sec²xdx)-∫((x)'∫sec²xdx)dx
            = (xtan(x))-∫(1*tan(x))dx
            = xtan(x)+log|cos(x)|+C
```
3. 分数积分：
  - 部分分数： 如果f（x）和g（x）是两个多项式函数，那么f（x）/g（x）定义了x的有理函数。如果f（x）如果f（x）>g（x）的阶，那么f（x）/g（x）是x的一个不恰当的有理函数。如果f（x）/g（x）是一个不恰当的有理函数，我们将f（x）除以g（x），使有理函数可以表示为∅（x） +（h（x）/g（x））。现在h（x）/g（x）是一个适当的有理函数。任何适当的有理函数都可以表示为有理函数之和，每个有理函数都有一个简单的因子g（x）。每一个这样的分数都叫做部分分数。
  - 部分分数的情况：
    - 案例1。当g（x）=（x-a _1. )（x-a） _2. )（x-a） _三 )….（x-a） _N )那么我们假设
```
f(x)/g(x) = (A₁/(x-a₁))+(A₂/(x-a₂))+(A₃/(x-a₃))+....(A_n/(x-a_n))
```
    - 案例2。当g（x）=（x-a） ^K （x-a） _1. )（x-a） _2. )（x-a） _3. ) ….（x-a） _R ), 那么我们假设
```
f(x)/g(x) = (A₁/(x-a)¹)+(A₂/(x-a)²)+(A₃/(x-a)³)
                  +....(A_k/(x-a)^k)+(B₁/(x-a₁))+(B₂/(x-a₂))+(B₃/(x-a₃))
                  +....(B_r/(x-a_r))
```
  - 例如：
    - 例1。 ∫（x-1）/（x+1）（x-2））dx
    - 解决方案
```
Let (x-1)/((x+1)(x-2))= (A/(x+1))+(B/(x-2))
=>    x-1 = A(x-2)+B(x+1)
```
      如果x-2=0，我们得到
```
 B = 1/3 
```
      把x+1=0，我们得到
```
 A = 2/3  
```
      代入A和B的值，我们得到
```
 
(x-1)/((x+1)(x-2))= ((2/3)/(x+1))+((1/3)/(x-2))
∫((2/3)/(x+1))+((1/3)/(x-2))dx  
= ((2/3)∫(1/(x+1))dx)+((1/3)∫(1/(x-2))dx)
=  ((2/3)log|x+1|)+((1/3)log|x-2|)+C
```
    - 例2。 ∫（cos（x））/（2+sin（x））（3+4sin（x）））dx
    - 解决方案
```
Let I = ∫(cos(x))/((2+sin(x))(3+4sin(x)))dx 
```
      把sin（x）=t和cos（x）dx=dt，我们得到
```
 I = ∫dt/((2+t)(3+4t)) 
Let 1/((2+t)(3+4t))= (A/(2+t))+(B/(3+4t))
=>  1 = A(3+4t)+B(2+t) 
```
      把3+4t=0，我们得到
```
 B = 4/5 
```
      把2+t=0，我们得到
```
 A = -1/5 
```
      代入A和B的值，我们得到
```
1/((2+t)(3+4t))
= ((-1/5)/(2+t))+((4/5)/(3+4t))
I = (∫((-1/5)/(2+t))dt)+(∫((4/5)/(3+4t))dt)
 = ((-1/5)log|2+t|)+((1/5)log|3+4t|)+C
= ((-1/5)log|2+sin(x)|)+((1/5)log|3+4sin(x)|)+C 
```

文章版权归作者所有，未经允许请勿转载。

THE END

技术文章