数学|关于嵌套量词的几个定理

先决条件—— 谓词和量词–集合1 , 第二组

量词 是表示所附术语范围的表达式，这里是谓词。A 谓语 是声明主题可以拥有的财产。

例如，在声明中 “x和y之和大于5” ，谓词“Q”是-sum大于5， 这个语句可以表示为Q（x，y），其中x和y是变量。

这个 范围 指一个量词或一个词 量化 是量词在公式中的范围。

量化或范围的类型：

1. 普遍的(∀) – 该谓词对于域中x的所有值都为真。
2. 存在的(∃) – 该谓词对于域中至少一个x为真。

要知道公式中量词的范围，只需使用 解析树 .如果一个量词在另一个量词的范围内，则嵌套两个量词。

• 示例1：

  ∀十、∃y（x+y=5） 这是∃’ （读作存在）和’∀’ （通读为all）是变量x和y的量词。 该语句可以表示为- ∀x Q（x） Q（x）是∃yp（x，y）Q（x）-谓词是x的函数，因为量词只适用于变量x。 P（x，y）是（x+y=5）

• 例2 ∀十、∀y（（x>0）∧（y<0）→ （xy<0）） （英文） 对于每个实数x和y，如果x为正，y为负，则意味着xy为负。 再一次， ∀x Q（x） 其中Q（x）是∀y P（x，y）

将语句转换为嵌套量词公式的示例： “本次讲座中有一名学生至少修过一门离散数学课程。”

一个语句由量词和谓词组成，将其分为两部分。 这里x和y是学生和课程，它们各自的量词附在前面。

把它写下来-

对于一些x学生来说，有一门离散数学课程，x取y。 ∃十、∃y P（x，y），其中P（x，y）是“x取y”。

• 定理1： 嵌套存在量词的顺序可以在不改变语句含义的情况下改变。
• 定理2： 嵌套的通用量词的顺序可以在不改变语句含义的情况下改变。

• 例3： 假设P（x，y）是xy=8， ∃十、∃yp（x，y）域：整数 翻译成- 有一个整数x，其中有一个整数y，因此xy=8， 这和- 有一对整数x，y，其中xy=8。 意思∃十、∃y P（x，y）等于∃Y∃xp（x，y）。

  同样地，

  假设P（x，y）是（xy=yx）。 ∀十、∀yp（x，y）域：实数 翻译成- 对于所有实数x，对于所有实数y，xy=yx或， 对于每对实数x，y，xy=yx。 再一次∀十、∀y P（x，y）等于∀Y∀xp（x，y）。

  然而，当嵌套的量词不同时，改变顺序会改变语句的含义。

• 示例4：

  假设P（x，y，z）是（x+y=z）。 ∀十、∀Y∃zp（x，y，z）域：实数 翻译成- 对于所有实数x和y，都有一个实数z，使得x+y=z（真） ∀Z∃十、∃yp（x，y，z）域：实数 有一个实数z，对于所有实数x和y，x+y=z（假）

嵌套量词的否定：

• 定理3 要对嵌套的量词序列求反，可以将序列中的每个量词更改为另一种类型，然后对谓词求反。 所以对∀十、∃y:P（x，y）是∃十、∀y:~P（x，y）

• 例5： “ ∃在康奈尔大学，x至少18岁。” 如果你不同意这一点，你可以通过翻转∃ 到∀ 然后 否定谓词： “ ∀在康奈尔大学，x至少还不到18岁。”