什么是科赫曲线？

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科赫雪花（也称为科赫曲线、科赫星或科赫岛）是一条数学曲线，也是最早被描述的分形曲线之一。它基于瑞典数学家赫尔格·冯·科赫（Helge von Koch）1904年发表的题为“在没有切线的连续曲线上，可从初等几何构造”的论文中提出的科赫曲线。

雪花面积的级数收敛到原始三角形面积的8/5倍，而雪花周长的级数发散到无穷大。因此，雪花有一个由无限长的线包围的有限区域。

建设

第一步：

画一个等边三角形。你可以用指南针或量角器来画，如果你不想花太多时间画雪花的话，也可以用肉眼观察。

由于这种分形的性质，最好将边的长度除以3。这将在接下来的几步中变得清晰。

图片[1]-科赫曲线或科赫雪花-yiteyi-C++库

第二步：

将每一面分成三等份。这就是为什么边可以被三整除的原因。图片[2]-科赫曲线或科赫雪花-yiteyi-C++库

第三步：

在每个中间部分画一个等边三角形。测量中间三分之一的长度，以了解这些新三角形边的长度。图片[3]-科赫曲线或科赫雪花-yiteyi-C++库

第四步：

把每一面分成三份。你可以看到第二代三角形覆盖了第一代三角形的一部分。这三条线段不应该分成三段。图片[4]-科赫曲线或科赫雪花-yiteyi-C++库

第五步：

在每个中间部分画一个等边三角形。

请注意如何绘制每一个下一代零件，这些零件是桅杆零件的三分之一。

图片[5]-科赫曲线或科赫雪花-yiteyi-C++库

林登迈耶系统的表示

科赫曲线可以表示为：重写系统 ( 林登迈耶系统 ):

字母表 ：F 常数 : +, ? 公理：F 产生式规则 ：F？F+F–F+F

这里，F表示“向前拉”–表示“右转60°”，+表示“左转60°”。要创建科赫雪花，可以使用F++F++F（等边三角形）作为公理。

要创建科赫曲线，请执行以下操作：

                         # Python program to print partial Koch Curve.                       
                         # importing the libraries : turtle standard                       
                         # graphics library for python                       
                         from                                     turtle                                     import                                     *                       
                                   
                         #function to create koch snowflake or koch curve                       
                         def                                     snowflake(lengthSide, levels):                       
                                                 if                                     levels                                     =                                     =                                     0                                     :                       
                                                 forward(lengthSide)                       
                                                 return                       
                                                 lengthSide                                     /                                     =                                     3.0                       
                                                 snowflake(lengthSide, levels                                     -                                     1                                     )                       
                                                 left(                                     60                                     )                       
                                                 snowflake(lengthSide, levels                                     -                                     1                                     )                       
                                                 right(                                     120                                     )                       
                                                 snowflake(lengthSide, levels                                     -                                     1                                     )                       
                                                 left(                                     60                                     )                       
                                                 snowflake(lengthSide, levels                                     -                                     1                                     )                       
                                   
                         # main function                       
                         if                                     __name__                                     =                                     =                                     "__main__"                                     :                       
                                   
                                                 # defining the speed of the turtle                       
                                                 speed(                                     0                                     )                       
                                                 length                                     =                                     300.0                       
                                   
                                                 # Pull the pen up – no drawing when moving.                       
                                                 penup()                       
                                   
                                                 # Move the turtle backward by distance,                       
                                                 # opposite to the direction the turtle                       
                                                 # is headed.                       
                                                 # Do not change the turtle’s heading.                       
                                                 backward(length                                     /                                     2.0                                     )                       
                                   
                                                 # Pull the pen down – drawing when moving.                       
                                                 pendown()                       
                                   
                                                 snowflake(length,                                     4                                     )                       
                                   
                                                 # To control the closing windows of the turtle                       
                                                 mainloop()                       

输出：

要用科赫曲线创建完整的雪花，我们需要重复三次相同的图案。让我们试试看。

                         # Python program to print complete Koch Curve.                       
                         from                                     turtle                                     import                                     *                       
                                   
                         # function to create koch snowflake or koch curve                       
                         def                                     snowflake(lengthSide, levels):                       
                                                 if                                     levels                                     =                                     =                                     0                                     :                       
                                                 forward(lengthSide)                       
                                                 return                       
                                                 lengthSide                                     /                                     =                                     3.0                       
                                                 snowflake(lengthSide, levels                                     -                                     1                                     )                       
                                                 left(                                     60                                     )                       
                                                 snowflake(lengthSide, levels                                     -                                     1                                     )                       
                                                 right(                                     120                                     )                       
                                                 snowflake(lengthSide, levels                                     -                                     1                                     )                       
                                                 left(                                     60                                     )                       
                                                 snowflake(lengthSide, levels                                     -                                     1                                     )                       
                                   
                         # main function                       
                         if                                     __name__                                     =                                     =                                     "__main__"                                     :                       
                                                 # defining the speed of the turtle                       
                                                 speed(                                     0                                     )                       
                                                 length                                     =                                     300.0                       
                                   
                                                 # Pull the pen up – no drawing when moving.                       
                                                 # Move the turtle backward by distance, opposite                       
                                                 # to the direction the turtle is headed.                       
                                                 # Do not change the turtle’s heading.                       
                                                 penup()                       
                                   
                                                 backward(length                                     /                                     2.0                                     )                       
                                   
                                                 # Pull the pen down – drawing when moving.                       
                                                 pendown()                       
                                                 for                                     i                                     in                                     range                                     (                                     3                                     ):                       
                                                 snowflake(length,                                     4                                     )                       
                                                 right(                                     120                                     )                       
                                   
                                                 # To control the closing windows of the turtle                       
                                                 mainloop()                       

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