大门|大门-CS-2002 |问题6

以下哪项是正确的？ （A） 所有有理负数的集合在乘法下形成一个群。 （B） 所有非奇异矩阵的集合在乘法下形成一个群。 （C） 所有矩阵的集合在乘法下形成一个群。 （D） （2）和（3）都是正确的。

答复: （B） 说明： 群是一组元素，使得群中的任意两个元素组合成同一个群的第三个元素。此外，群必须满足某些属性：

闭包属性–当由操作符打开时，集合中的任意两个元素构成第三个元素，该元素也必须在集合中。

关联属性–对于三个或三个以上操作数之间具有相同运算符的表达式，只要操作数序列不变，运算顺序就无关紧要。例如，（a+b）+c=a+（b+c）。

Identity element属性–每个集合必须有一个Identity元素，该元素是集合中的一个元素，当与集合中的另一个元素一起操作时，它会给出该元素本身。例如，a+0=a。这里，0是标识元素。

可逆性属性——对于集合中的每个元素，都应该存在反向。

现在，对于给定的语句，我们有

A不正确，因为它不满足闭包属性。如果我们把两个负数相乘，我们得到一个不在集合中的正数。

B是正确的。集合中的矩阵必须是非奇异的，即它们的行列式不应为零，这样才能存在逆矩阵（可逆性）。

C是不正确的，因为奇异（行列式=0）矩阵的逆矩阵不存在（违反了可逆性属性）。

因此，B是正确的选择。

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