GATE | GATE-CS-2006 |问题23

F是一个n*n实矩阵。b是n*1实向量。假设有两个n*1向量，u和v≠ v和Fu=b，Fv=b.下列哪个陈述是错误的？ （A） F的行列式为零。 （B） Fx=b有无限多个解 （C） 有一个x≠使Fx=0 （D） F必须有两个相同的行 答复: （D） 说明： 因为Fu=b，Fv=b，所以我们有（Fu–Fb）=0，即F（u-v）=0。自从你≠v、 F是一个奇异矩阵，即其行列式为0。对于奇异矩阵F，Fx=b没有解或者有无穷多个解，但是我们已经给出了x的两个解u和v，Fx=b必须有无穷多个解。 此外，根据奇异矩阵的定义，存在一个x≠使Fx=0。 所以选项（A）、（B）和（C）是正确的。选项（D）是错误的，因为可能不需要两行相同，相反，两列可以相同，我们可以得到F作为奇异矩阵。 所以选项（D）是正确的答案。

资料来源： http://www.cse.iitd.ac.in/~mittal/gate/gate_math_2006。html 这个问题的小测验