大门|大门-CS-2014-（第2组）|问题65

下列哪一项正确地确定了T（1）=1的递推关系的解？

T(n) = 2T(n/2) + Logn 

（A） Θ（n） （B） Θ（nLogn） （C） Θ（n*n） （D） （对数） 答复: （A） 说明：

 T(n) = 2T(n/2) + log n
 T(1) = 1
Substitute n = 2^k

T(2^k)  = k + 2T(2^(k-1))
T(2^k)  = k + 2(k-1) + 4T(2^(k-2))
        = k + 2(k-1) + 4(K-2) + 8T(2^(k-3))
        = k + 2(k-1) + 4(K-2) + 8(k-3) + 16T(2^(k-4))
        = k + 2(k-1) + 4(K-2) + 8(k-3) + ...... + 2^kT(2^(k-k))
        = k + 2(k-1) + 4(K-2) + 8(k-3) + .......+ 2^kT(1)
        = k + 2(k-1) + 4(K-2) + 8(k-3) + .......+ 2^k  --------(1)

2T(2^k) =     2k     + 4(k-1) + 8(K-2) + ...... + 2*2^k + 2^(k+1) --------(2)

Subtracting 1 from 2, we get below
T(2^k) = - k + 2 + 4 ......    2^(k-2) + 2^(k-1) + 2^k + 2^(k+1)
           = - k + 2 * (1 + 2 + 4 + ..... 2^k)
           = -k + [2*(2^k - 1)] / [2-1]
           = -k + [2*(2^k - 1)]

T(n) = -Logn + 2*(n - 1)

T(n)  = Θ(n) 

这个问题的小测验