数学|代数结构

代数结构

如果非空集S遵循以下公理，则称为代数结构w.r.t二进制运算（*）：

• 关闭： （a*b）属于所有a、b和in的S；s

前任： S={1，-1}是下的代数结构*

当1*1=1，1*-1=-1，-1*-1=1时，所有结果都属于S。

但以上并不是+as下的代数结构1+（-1）=0不属于S。

半群

如果非空集S（S，*）遵循以下公理，则称其为半群：

• 关闭： （a*b）属于所有a、b和in的S；s
• 关联性： a*（b*c）=（a*b）*c∀ a、 b，c属于S。

注： 半群总是代数结构。

前任： （整数集，+）和（矩阵，*）是半群的例子。

幺半群

如果非空集S（S，*）遵循以下公理，则称为幺半群：

• 关闭： （a*b）属于所有a、b和in的S；s
• 关联性： a*（b*c）=（a*b）*c∀ a、 b，c属于S。
• 标识元素： 存在e&in；所以a*e=e*a=a∀ a&in；s

注： 幺半群总是半群代数结构。

前任： （整数集，*）是幺半群，因为1是一个整数，也是一个恒等元。 （自然数的集合，+）不是幺半群，因为不存在任何恒等元。但这是半群。 但是（整数集，+）是以0为单位元素的幺半群。

组

如果非空集G（G，*）遵循以下公理，则称其为群：

• 关闭： （a*b）在所有a、b和in中属于G；G
• 关联性： a*（b*c）=（a*b）*c∀ a、 b，c属于G。
• 标识元素： 存在e&in；G使得a*e=e*a=a∀ a&in；G
• 相反： ∀ a&in；G存在一个 ^-1 &在；这样a*a ^-1 =a ^-1 *a=e

注：

1. 群总是一个幺半群、半群和代数结构。
2. （Z，+）和矩阵乘法是群的例子。

交换群还是交换群

如果非空集S（S，*）遵循以下公理，则称其为阿贝尔群：

• 关闭： （a*b）属于所有a、b和in的S；s
• 关联性： a*（b*c）=（a*b）*c∀ a、 b，c属于S。
• 标识元素： 存在e&in；所以a*e=e*a=a∀ a&in；s
• 相反： ∀ a&in；存在一个 ^-1 &在；是这样的 ^-1 =a ^-1 *a=e
• 交换的： a*b=b*a代表所有a、b和in；s

注： （Z，+）是阿贝尔群的一个例子，但矩阵乘法不是阿贝尔群，因为它不是交换的。

为了找到一个集合，我们必须从闭包性质等开始逐个检查公理。

本文由 阿披实·库马尔 . 如果您发现任何不正确的地方，或者您想分享有关上述主题的更多信息，请写下评论。