有限集上可能等价关系的个数

等价关系是自反的、对称的和传递的。在计算集合| a |=n上可能的等价关系的数量之前，让我们看一个等价关系的例子，并确定 等价类 在里面。

设A={1,2,3,4}是一个集合，R={（1,1），（1,2），（2,1），（2,2），（3,3），（3,4），（4,3），（4,4）}是A上的等价关系。我们在这里看到，集合C1={（1,1），（1,2），（1,3），（1,4）}上的总关系T={（1,1,2），（1,3），（1,4）}是A的子集，存在于R中，也不存在这样的总关系T’>=T在集合C1′>=C1上，它存在于R的R i.e子集中。因此我们在关系R上发现了一个等价类E1={1，2}。

类似地，R上还有另一个等价类E2={3，4}。在R中不再存在这样的等价类。请注意，这里E1和E2是不相交集，这总是正确的，因为{E1，E2}即{1，2}，{3，4}是集合A的可能划分之一。

因此，上述等价关系R对应于集合A的分区{1，2}，{3，4}。同样地，A上的每个等价关系对应于A的一个分区。实际上，这个映射是双射的。

现在我们来讨论在一个有限集上寻找可能等价关系的数目的问题，这个有限集等于a的划分数 钟号 数一数。从B0=B1=1开始，前几个钟号为：

1、1、2、5、15、52、203、877、4140、21147、115975、678570、4213597、27644437、190899322、1382958545、10480142147、82864869804、682076806806159、5832742205057……等等。

以下是三角形的前五行：

 1
 1   2
 2   3   5
 5   7  10  15
15  20  27  37  52

钟形数字出现在三角形的左右两侧。

例如—— 有五个4的整数分区： 4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1 .所以我们只需要计算一下把我们的四个元素放到这些大小的箱子里的方法。 4. 只有一种方法可以将四个元素放入一个大小为4的容器中。这表示只有一个等价类（包含所有内容）的情况，因此等价关系是总的关系：所有内容都与所有内容相关。 3+1 有四种方法可以将这四个元素分配到一个大小为3的箱子和一个大小为1的箱子中。对应的等价关系是指一个元素只与自身相关，而其他元素都与彼此相关的关系。显然，有4种方法可以选择这种独特的元素。 2+2 有（42）/2=6/2=3（42）/2=6/2=3种方式。我们在这里看到的等价关系是，其中两个元素相互关联，另外两个元素相互关联。所以，从选取一个元素开始，比如1。然后有三件事1可能与之相关。一旦选择了该元素，就完全确定了等价关系。 2+1+1 有（42）=6（42）=6种方式。 1+1+1+1 只有一条路。这就是身份等价关系。 因此，在{1,2,3,4}{1,2,3,4}上总共有1+4+3+6+1=15个分区，因此有15个等价关系。

注—— 这种计数论证可能相当棘手，或者至少不雅观，尤其是对于大型集合。没有直接的公式可以做到这一点。